下面是小编为大家整理的但不忘栽培之功，怕没有枝叶花实,供大家参考。

　但不忘栽培之功，怕没有枝叶花实 ————基于本原性问题驱动下的习题教学案例及思考 作

　者：

　花奎

　作者简介：

　花奎，江苏省仪征中学（211400）.

　原发信息：

　《数学通报》(京)2015 年第 201512 期 第 41-44，48 页

　期刊名称：

　《高中数学教与学》 复印期号：

　2016 年 03 期

　“本原性数学问题”是指在数学教学中把数学问题的“要素”或“基本构成”作为思考的第一问题，意味着教师要把实质性的数学问题“教学法化”——让数学实质能够被学生触及和逐步理解，源自数学课堂教学的本原性问题是把本质与情景一起融入“揭示、理解并欣赏数学的学科本质”活动当中的问题.“题不在多，经典就行”，此话道出了习题教学的重要性.通过对典型问题的背景探悉，思路探索，追根溯源，突出其数学的本质，不仅能激发学生学习数学的热情，而且对培养学生的探究能力也大有益处.本文主要通过对一道高考模拟试题的答题情况的调查分析及教学，谈谈如何利用朴素的本原性问题驱动数学复习中习题优效教学的点滴思考.

　 一、试题呈现及答题调研

　 题目：（扬州市 2015 届高三第三次调研第 14 题）：已知正实数 x，y 满足 ，则 xy 的取值范围________.

　通过对我校（江苏省四星级高中）高三年级答题情况的调查发现只有51 人答对本题（全校 821 人），正确率仅为 6.2%.如此之低的正确率是我们的教师没想到的.

　 面对这种情况，该如何处理这道习题是必须要考虑的.为此，调查了学生和教师，调查学生意在了解学生对本题的想法和需求，调查教师意在了解教师对本题准备怎样处理.调查结果整理如下.

　 学生：想用基本不等式但没有成功；想用消元转化为函数来做也不行；无从下手.希望有好的处理方法……

　 教师：得分率太低，高考不会考，考到也放弃，所以没有讲的必要；此题方法单一，大多数学生想不到，可以告诉学生答案……

　 确实，正如某些教师所说此题得分率太低，高考不会考，所以没有讲的必要，但是又如何满足学生的心理需求呢？如果认为此题方法单一，就是讲一讲答案，学生是如何想到的呢？数学的本质又如何体现呢？

　 “为学须有本原，须从本原上用力.”我们能否抓住该题本原性引导学生进行思考呢？但如何回归本原呢？通过思考研究，认为可以选择一个对学生来讲比较熟悉又有内涵的问题，最好是“跳一跳能够得着”但又不失探究热情的问题.通过探究熟悉问题，充分利用习题的本原性驱动数学课堂教学，理解数学的本质，追寻简单而又深刻的课堂教学.

　 二、本原性问题驱动下的教学实录

　 1.探究本原问题——不忘栽培之功

　 教学实录 1

　T：同学们，扬州市第三次调研第 14 题我校高三年级只有 51 人答对本题，正确率仅为 6.2%.这道题正确率之所以如此之低，是由于同学们没能识得庐山真面目.同学们请观察这道题条件是什么？需要求什么？你能说出一道与它有关的问题吗？

　 S1：此题已知正实数 x，y 的等量关系，求关于 x，y 的二元函数的范围.我知道这样的一道题目：已知 x＞0，y＞0，且 x+2y=1，求 xy 的最大值及此时 x，y 的值.

　 T：好，我们先来研究学生 S1 提出的问题，通过这一熟悉问题的探究，相信你们一定会揭开调研卷上第 14 题的神秘的面纱.

　 学生思考约 3 分钟后，纷纷开始回答.

　T：很好.你是怎么想到的呢？

　 S1：我注意到 x 与 2y 的和为定值，想到它们的积应有最大值，从而得到 xy 的最大值.

　 T：非常好！思路很清晰.同学们还有其他想法吗？

　 S2：我采用消元转化函数求解.

　 T：可以呀！说说看.

　T：你再认真检查一下你的解题过程，你觉有没有需要完善的地方？

　 S2：（想了一会）应补上“因为 x＞0，y＞0，所以 0＜x＜1”和“当 xy 取得最大值时 ”.

　T：能自己检查出不足，很好！请问你是怎么想到这样做的呢？

　 S2：目标 xy 有两个变元，于是想通过条件消去一个就可以转化为求函数最值问题.

　 T：不错，数学解题目标意识要很强，数学解题要抓住条件与目标之间的差异进行分析.还有其他想法吗？

　T：太好了！你是怎么想到的呢？

　 S3：我注意到等式“x+2y=1”的右边是 1，从而联想到“ ”，就想到三角换元，将目标转化为三角函数的值域来处理.

　 T：那么你能总结一下，什么情况下可以三角换元呢？

　 S3 想了一会，摇摇头.

　 T：等式的右边一定要是“1”才能三角换元吗？

　 S3：知道了.形如 都可以进行三角换元.

　 T：很好.这样我们就得到三种方法，方法一是直接利用了基本不等式，方法二和方法三分别通过消元和换元将转化为函数最值问题.还有其他想法吗？（实际上课前预设就是这三种方法，只是习惯地随口一问）

　 S4：因为 x+2y=1（x＞0，y＞0）表示线段，设 xy=k（k＞0），即，类比线性规划，当函数 的图象恰好与线段相切时 k 最大.

　T：你的解法很有创意.你是怎么想到的呢？

　 S4：老师您说过，解决数学问题常有代数方法和几何的方法，我就想从形来考虑，发现 x+2y=1（x＞0，y＞0）表示线段，（x，y）即为线段上的动点，通过画图发现相切的情况即为所求.

　 T：但是如何说明相切的情况即为 的 k 最大呢？

　 S4：感觉.（引起学生大笑，还有鼓掌.）

　 T：感觉很重要，它往往激发出我们创新的灵感！如果能理性的反思一下就更好了.

　 S5：我认为可以说明是相切时 k 最大，但不要像 S4 这样做.

　 T：你说说看.

　T：太好了！S5 不仅帮助 S4 解决了为什么在相切时 k 最大的问题，而且又提供了另一解法，即可以转化为函数 的图象与线段 x+2y=1（x＞0，y＞0）有公共点时 k 的范围问题，即方程有解.大家有问题吗？

　T：妙极了！S6 和 S5 都很善于研究，发现了不同解法之间的联系.还有不同想法吗？

　 下面同学安静了.

　 T：刚才同学用了不同的方法解决这一最值问题，请同学们总结一下解决双变元代数式的最值问题的策略吗？

　经过同学们的讨论补充得出了求解双变元代数式的最值问题的常见方法，并构成如下的网络：

　2.回归本原——实现枝叶花实

　 教学实录 2

　 T：通过对熟悉问题的探究，总结了含双变元代数式的最值问题的求解策略，现在请大家思考，能不能用这些策略来解决扬州市 2015 届高三第三次调研第 14 题呢？

　T：你是怎样想到这一解法的呢？

　T：说得很好.还有什么方法吗？

　T：你是怎么想的呢？

　T：你是怎么想的呢？

　S11：我发现学生 S9 的解法中同时用两次基本不等式不可以，于是我想能不能将 的左边看成两个正数（整体），利用基本不等式，而且能得到关于 xy 的不等式，就这样操作了.

　 T：看来抓住解题的目标很重要，学生 S11 具有为了得到关于 xy 的不等式意识，从而得到了上述解法，真的很好.

　 T：同学们，至此，我们揭开了扬州市第三次调研第 14 题的真面目，其实我们平时只要对一些简单问题多研究，倡导思维风暴，从中总结出思想方法，再用这些方法去尝试解决相对较难问题.

　 三、本原性问题驱动下的习题教学的体悟

　 1.挖掘本原性问题，促进思维的升华

　 法国数学家笛卡儿在他的数学方法研究中，抽出了在任何领域中获得正确知识的一些原则，其中有一条就是：按照次序引导我的思想，以便从最简单、最容易认识的对象开始，一点一点逐步上升到对复杂的对象的认识，即便是那些彼此之间并没有自然的先后次序的对象，我也给它们设定一个次序.美国数学家波利亚认为好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识，仅仅是记忆不足以产生一个好的思路，但不回顾一些有关的事例，我们也不可能产生一个好的思路.因此从下列问题开始工作常常是合适的：你知道一道与它有关的题目吗？因此，教师在习题（较难题）教学设计时应抓住该题本原性，理清本题考查什么知识和思想，考虑如何引导学生选择一个比较熟悉简单又有内涵的问题，通过简单问题贯穿“一题多解”的

　思想，总结通性通法，逐步实现“思维的升华”，迸出思维的火花，从而得到一般解决问题的方法.

　 2.本原性问题驱动，实现优效教学

　 部分教师认为对于得分率如此低的一个问题本可以不讲或一带而过，却在此大做文章是否值得？高三数学课堂的优效性何以体现？高中数学的优效教学致力于学生的可持续发展，强调理性思维的培养和数学素养的发展，注重数学文化价值的发挥，关注数学思维形式的形成，关注数学基本活动经验的获得，关注学生创新意识与实践能力的培养与发展.此案例中，如果对此模拟题不讲或一带而过，势必忽视了学生数学思维形式的形成和关注数学基本活动经验的获得的机会，谈不上思维的培养和数学素养的发展，不利于学生的可持续发展，即不会有优效的课堂教学.案例中，教师利用学生提出的本原性问题，在学生思维“最近发展区”，倡导思维风暴，通过“你是怎么想到的呢？”“还有不同想法吗？”“大家有问题吗？”一系列元认知提问，小题大做，学生理解了“几何法、基本不等式法、函数法、方程法”等思想方法，同时发现不同解法之间的联系，而且学生认识到教师是真诚地对大量的想法和回答感兴趣，增加了学生学习数学的幸福感，有利于实现优效教学.

　 3.本原性问题驱动教学，不忘栽培之功

　 利用本原性问题进行习题教学满足了学生内在需求.不仅有助于学生问题意识的提高，有利于学生合作、探究能力的提升，有益于学生创新精神的养成和实践能力的加强，而且还有助于提升教师的教学智慧，促使教师

　不断地钻研数学本质，促进教学相长.利用习题的本原性驱动教学，使数学课堂能围绕某个问题纵横驰骋，可以将问题拓展、引申的过程演绎得波澜壮阔、悬念迭起、扣人心弦.在数学教学中，我们可以借助于一些经典试题作为载体，由浅入深，层层递进，由表及里，层层剖析，触类旁通，不断地引导学生探究数学问题的本原和丰富的内涵，使学生站在一定的高度思考问题，这样再回头去看看高考试题或模拟试题，大有一种“一览众山小”的感觉.可见，本原性问题驱动教学，“但不忘栽培之功，怕没有枝叶花实？”

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