下面是小编为大家整理的如何使学生发现和提出有研究价值问题【完整版】,供大家参考。

　如何使学生发现和提出有研究价值的问题 作

　者：

　章建跃

　作者简介：

　章建跃，人民教育出版社.

　原发信息：

　《中学数学教学参考》(西安)2014 年第 1/2 上期 第 7-10页

　期刊名称：

　《高中数学教与学》 复印期号：

　2014 年 05 期

　众所周知，数学是思维的科学.数学之所以在基础教育课程体系中成为最重要的课程之一，其地位具有无可替代性，是因为它是发展学生的智力、培养学生的逻辑思维能力的主要学科，是锻炼学生思考力的最佳园地.笔者曾经撰文[1]，以平面几何的教学为例，讨论了在数学教学中如何发挥数学的内在力量，切实抓好“思维的教学”，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考，进而使他们成为善于认识问题、解决问题的人才.意犹未尽的是，几何中各种各样的问题是如何提出来的呢？是否有一般的“套路”？如何在教学中把“提出几何问题”落在实处？这些问题的解决，对于培养学生的思考力是关键性的，对于培养学生的探究能力、创新精神和实践能力等都具有重要意义，在我国当下的数学教育改革中更具现实意义.

　 在立体几何中，直线、平面的平行与垂直等位置关系，决定了众多有重要应用价值的几何性质.这些性质是如何发现的呢？显然，如果对这个问

　题有所思考，并引导学生归纳总结出“发现几何性质的基本方法”，那么就可以使学生不仅知道“有哪些性质”，而且知道这些性质“是怎么来的”，并进一步掌握“发现性质”的本领.这是把“增强发现和提出问题的能力”落在实处的关键举措，也只有这样才能使学生在几何学习中“学会思考”.

　 一、关于“几何性质”的思考

　 我们知道，几何学是研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的数学学科.那么，在点、直线、平面之间的位置关系中，为什么把平行、垂直两种位置关系作为研究的主题呢？这主要是因为它们反映了空间的本质，是研究物体的形状、大小和位置关系的基础.按项武义的观点[2]，对称性、平直性（还有连结、分割和连续性）是体现空间本质的基本.其中，平直性与平行、对称性与垂直之间是紧密关联的.例如，在平面几何中，平面对于其上的每一条直线 l 都成反射对称，即平面上对于直线 l 的反射对称τ，它把 l 上的点固定不动，把不在 l 上的点 P 映射到点 P′，使得线段PP′被直线 l 垂直平分；相应地，空间对于其中的任意一个平面α成反射对称，即空间对于平面α的反射对称σ，它把平面α上的点固定不动，把不在平面α上的点 P 映射到点 P′，使得线段 PP′被平面α垂直平分.另外，空间中的平行、垂直也具有内在的关联，而且可以相互转化.所以，“平行与垂直乃是整个定量立体几何的基础所在，当然也就是读者学习立体几何的起点与要点所在.”[2]

　另一个问题是，什么叫性质？一般地，性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系.问题是这里的“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能发现这种“联系”？

　 我们可以从平面几何的研究中得到一些启发.研究一个平面几何对象的性质，例如三角形的性质，从三角形的“内角和为 180°”“两边之和大于第三边”“大边对大角”“等边对等角”等可以想到，“内部”可以是“三角形的组成要素”，“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”.因此，几何对象组成要素之间确定的关系就是性质.再者，从“外角等于不相邻两内角的和”“三条高交于一点”“等腰三角形三线合一”等又可想到，如果把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些相关要素也可以看成是“三角形的内部”，于是要素、相关要素之间确定的关系也是性质.而研究两个几何事物所形成的某种位置关系的性质，例如两条直线平行，从“同位角相等”“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的性质是借助“第三条直线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系.因此，研究两个几何事物在某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手.

　 二、直线与平面平行性质的发现

　 循着这样的想法，我们来看“直线 l 与平面α平行”这种位置关系下的性质.显然，这时的“其他几何事物”可以选“其他直线”或“其他平面”，它们与直线 l 或平面α具有平行或垂直的关系（其实也可以是其他

　关系）.于是我们以“直线 l//平面α”为大前提，就得到如下一些可以研究的命题：

　 （1）如果 l′//l，那么 l′//α；

　 （2）如果 l′//α，那么 l′//l；

　 （3）如果 l′⊥l，那么 l′⊥α；

　 （4）如果 l′⊥α，那么 l′⊥l；

　 （5）如果β//l，那么β//α；

　 （6）如果β//α，那么β//l；

　 （7）如果β⊥l，那么β⊥α；

　 （8）如果β⊥α，那么β⊥l.

　 显然，上述命题有的成立，有的不成立；有的有意义，有的没什么实质意义.但这样去发现一些命题，并通过逻辑推理得出它们的真或假，对学生而言是很有意义的，特别是他们可以从中体会，探究一个数学对象的性质时，该怎样寻找切入点，可以从哪些角度入手.

　 当然，上述提出问题的过程还是比较容易的.如果我们再引导学生从联系的角度，从基本概念出发，那么就能得到更多的命题.例如：

　 （9）（与“公理”相联系）直线 l 与平面α内任意一点 A 确定一个平面β，α∩β=l′，那么 l′//l；

　 （10）因为 l//α，所以 l∩α= .如果 m α，则 m//l，或者 m与 l 是异面直线.

　当 m 与 l 异面时，过 l 作平面β，使β⊥α，α∩β=l′，则必有 l′∩m=A.再在β内过点 A 作直线交 l 于点 B，则有：①直线 AB 是异面直线 m 与 l的公垂线；②线段 AB 的长是异面直线 m 与 l 之间的距离；③l′与 m 的交角是异面直线 m 与 l 所成的角；等等.

　 特别地，如果把α看成是过异面直线 m 与 l 中的 m 且平行于 l 的平面，则有：

　 （11）直线 m 与直线 l 异面，则过直线 m 有且只有一个平面与直线 l平行；

　显然，还可以有其他发现，这里不一一列举了.

　 三、两个平面平行的性质的发现

　 同样可以循着“两个平行平面与其他平面（或直线）之间是否形成确定的关系”来思考.不过，我们还可以通过与“两条直线平行的性质”进行类比而得到启发.平面几何中有“两条直线平行，同位角相等”，并用同位角相等来判定或构造平行线，这是一个很好的类比对象.我们把三条直线全部换成平面，也即α//β，被第三个平面γ所“截”，得到什么呢？平行线中得到的是角，平行平面得到的是交线、二面角.可以发现：

　 两个平行平面同时与第三个平面相交，那么

　 （1）它们的交线平行；

　（2）所成的二面角相等或互补（相当于同位角、同旁内角.作一个与交线垂直的平面，就得到相应的二面角的平面角，这样就把问题转化为平行线的性质）.

　 我们知道，平行线性质的逆命题就是判定定理，但平行平面的这些性质，其逆命题却不一定成立.

　 暂时放一下，我们从更基本的类比对象出发.平面几何中，有“过直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”.类似的，我们有：

　 （3）过平面α外一点 A 能且只能作一个平面与α平行.

　 这个性质的证明如下：

　 设平面α′过 A 且平行于α，在α内任取两条相交直线 m、n，过 m 和A、n 和 A 分别有唯一确定的平面β、γ.令α∩β=m′，α∩γ=n′，那么 m′//m，n′//n.由平面几何中平行线的唯一性可知，m′、n′分别在β、γ内是唯一存在的.这样，平面α′是由 m′、n′唯一确定.

　 下面我们直接构造一个平面α′，使其平行于α.先在α内任取两条相交直线 m、n，过 m 和 A、n 和 A 分别作平面β、γ.然后在平面β、γ内过 A分别作直线 m′、n′，使 m′//m，n′//n.令α′是由 m′、n′确定的平面，那么由判定定理可知α′//α.

　 类比平面几何中“平行于同一直线的两条直线相互平行”，可以得到

　 （4）平行于同一平面的两个平面相互平行（平行的传递性）.

　 这个命题可以利用（3）进行证明.反之：

　 （5）α//β，如果γ//α，那么γ//β

　上述（4）（5）都是真命题，合在一起就是：两个平面相互平行的充要条件是它们同时平行于第三个平面.

　 另外，从“垂直”考虑，我们有：

　 （6）α//β，如果γ⊥α，那么γ⊥β.反之：

　 （7）同时垂直于一个平面的两个平面互相平行.（假命题）

　 （8）α//β，如果直线 l⊥α，那么 l⊥β.反之：

　 （9）同时垂直于一条直线的两个平面互相平行.

　 上述（8）（9）都是真命题，这样我们又发现了一个“充要条件”.

　 另外，我们还可以与平面几何联系起来，对平行平面中的某些图形的关系进行研究.例如，

　四、直线与平面垂直的性质的发现

　 经过上述“发现之旅”，对于“如何发现”立体几何中的性质，我们已经有了一些经验.下面直接从平行、垂直的角度来列举（约定：直线、平面都是互不重合的）.

　 （1）a⊥α，b⊥α，那么 b//a；

　 （2）a⊥α，b//α，那么 b⊥a；

　 （3）a⊥α，b⊥a，那么 b//α；

　 （4）a⊥α，b//a，那么 b⊥α；

　 （5）a⊥α，β⊥a，那么α//β；

　 （6）a⊥α，β⊥α，那么 a//β；

　（7）a⊥α，β//a，那么β⊥α；

　 （8）a⊥α，β//α，那么β⊥a.

　 可以证明，上述命题都成立.

　 另外，由判定定理出发，类比平面几何中“过一点向一条直线作垂线，存在且唯一”，可以得到

　 （9）过空间一点有且只有一个平面与一条给定直线垂直；

　 （10）过空间一点有且只有一条直线与一个给定平面垂直.

　 如果对直线、平面的垂直做一点“组合”，那么可以得到许多性质.例如，

　 （11）令α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ，那么 l⊥γ.

　 还有，从“a⊥α，a β，那么β⊥α”知，这样的β有无数个.把思维发散到“a 与α不垂直”，是否存在过 a 且与α垂直的平面？有多少个？可以发现：

　 （12）a 与α不垂直，则过 a 存在唯一的平面与α垂直.

　 关于两个平面垂直的性质，我们已经不需要再列举了.

　 五、进一步考虑的问题

　 我们还可以进一步通过“综合”，发现更多的命题例如，在直线与平面的位置关系中，除了平行、垂直，还可以考查“斜线”，这时可以得到许多有价值的命题，最著名的是“三垂线定理”及“三垂线定理的逆定理”.又如，在平面与平面的位置关系中，类比平面几何对平行线的研究，

　可以考查夹在两个平行平面之间的平行线段或垂线段；还可以考查两个平行平面中的几何图形的关系（例如，

　也同向平行而且等长）；类比角平分线，可以研究二面角的平分面，等等.显然，这样的“发现”可以不断地进行下去.

　 不过，这样的“发现”有时也会让人产生“简单重复”的感觉.为此，应考虑另一方面的问题：所发现的正确命题（性质），相互之间有交叉，而且比较庞杂，哪些是更基本的？它们有怎样的逻辑关系？该怎样把它们整理成为一个逻辑严密的结构体系？这就是一个把发现的成果进行归纳、整理、组织，使之成为一个前后一致、逻辑连贯的知识体系的过程.

　 综上所述，我们以直线与平面、平面与平面的某种位置关系下，这两个几何事物（直线、平面）、其他几何事物（点、线段、直线、平面、几何图形等）之间是否形成确定的关系作为思考的切入点，通过作图、观察、类比、联想、猜想等，发现了众多的几何命题，再通过推理、论证得到了相应的几何性质.在此基础上，再进行归纳、抽象、概括，将这些性质组织成为一个逻辑严密的知识体系.这个过程与人类发现和组织立体几何知识的原始过程可能有一定的相似性.如果我们按照这样的过程来编写教材、设计学习过程并组织学生开展独立自主的探究性学习活动，学生就不仅获得了系统性的知识，而且学会了探究问题的方法，数学思维能力的培养也就自然地贯穿其中了.

　 六、题外话

　就高中数学课程内容而言，由于课时的限制，我们只能让学生学习基础且重要的内容.为此，我们应该从培养学生思维能力的需要出发，返璞归真地对纷繁多样的几何性质进行精益求精、精中求简，以达到以简驭繁的效果.所以，高中立体几何课程内容以直线、平面的平行和垂直的位置关系为核心是有道理的.

　 同样重要的是，我们要把选出的内容妥加组织，同时要把“什么是几何性质”“如何发现几何性质”等纳入到教材和日常教学中去，以利于学生在有限时间内掌握立体几何的核心知识，并在学习过程中逐步掌握发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的精髓，从而使学生成为善于认识问题和解决问题的有用人才.

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