下面是小编为大家整理的知识梳理_平面向量数量积及应用_提高（全文）,供大家参考。

　平面向量的数量积及应用

　编稿：李霞 审稿：孙永钊

　 【考纲要求】

　1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量 积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系. 2. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际

　问题.

　【知识网络】

　 平面向量数量积及应用

　 平面向量的数 量

　 平面向量的坐 标

　 平面向量的应 用

　 积

　运

　 算

　【考点梳理】

　考点一、向量的数量积

　1. 定义：

　已知两个非零向量 a

　和 b

　，它们的夹角为  ，我们把数量 |

　a

　||

　b

　|

　cos

　 叫做 a

　和 b

　的数量积（或内积），记作 a  b ，即 a  b | a || b | cos  .

　规定：零向量与任一向量的数量积为0. 要点诠释：

　（1）

　两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 . （2）

　在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0≤≤180.此外，由于向量具有方向性， 一定要找准 是哪个角. 2. 平面向量的数量积的几何意义

　我们规定 | b | cos  叫做向量 b 在 a 方向上的投影，当为锐角时， | b | cos  为正值；当为钝角时，

　第 1

　页 共 9 页

　|

　b

　|

　cos

　 为负值；当  =0  时， |

　b

　|

　cos

　  |

　b

　|

　；当  =90  时， |

　b

　|

　cos

　  0

　；当  =180  时， |

　b

　|

　cos

　   |

　b

　|

　.

　 a  b 的几何意义：数量积 a  b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos  的乘积. 要点诠释：

　b 在 a 方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0. 3. 性质：

　（1）

　a  b  a  b  0

　(2)

　当 a

　与 b

　同向时，

　a

　 b

　 |

　a

　||

　b

　|

　；当 a

　与 b

　反向时，

　a

　 b

　  |

　a

　||

　b

　|

　.

　特别地 a

　

　a

　 |

　a

　| 2

　，即 |

　a

　|   (3)

　cos 

　 a  b | a || b |

　(4)

　a

　

　b

　 |

　a

　||

　b

　|

　4. 运算律

　设已知向量 a 、 b 、 c 和实数  ，则向量的数量积满足下列运算律：

　(1) a  b  b  a (交换律)

　(2) (a)  b  (a  b)  a  (b)

　 (3) (a  b)  c  a  c  b  c 要点诠释：

　①当 a  0 时，由 a  b  0 不一定能推出 b  0 ，这是因为对任何一个与 a 垂直的向量 b ，都有a  b  0 ；当 a  0 时， a  b  a  c 也不一定能推出 b  c ，因为由 a  b  a  c ，得 a  (b  c)  0 ，即 a 与(b  c) 垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.

　②对于实数 a, b, c ，有 (a  b)c  a(b  c) ，但对于向量来说， (a  b)  c  a  (b  c) 不一定相等，这是因为 (a  b)  c 表示一个与 c 共线的向量，而 a  (b  c) 表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，所以(a  b)  c 与 a  (b  c) 不一定相等.

　5. 向量的数量积的坐标运算

　①已知两个非零向量 a  (x , y

　1 1

　 ) ， b  (x , y 2 2

　 ) ，那么 a  b  x x 1 2

　 

　y y ； 1 2

　第 2

　页 共 9 页 a 2

　 x 2  y 2

　1 1

　x 2  y 2

　1 1

　AB  (x

　 x ) 2  ( y  y ) 2

　2 1 2 1

　 .

　 ②若 a  (x, y) ，则 a  a  a 2

　 x 2  y 2 , a  x 2  y 2 ；

　 ③若 A  (x , y 1 1

　), B  (x , y 2 2

　) ， 则 AB  AB  (x  x 2 1

　) 2  ( y 2

　

　y ) 2 ，这就是平面内两点间的距 1

　离公式； ④若 a  (x , y ), b  (x , y

　) ，则 a  b  a  b  0  x x  y y  0 1 1 2 2

　6. 重要不等式

　1 2 1 2

　 若 a  (x , y ), b  (x , y )

　，则  |

　a

　||

　b

　|  a

　 b

　 |

　a

　||

　b

　|

　 1 1

　   2 2

　  x x

　 y y  1

　2 1

　 2

　 考点二、向量的应用

　（1）

　向量在几何中的应用

　①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；

　a / / b 

　a 

　 b 

　x y

　1 2

　

　x y2 1

　

　0

　（

　b

　  0

　）

　②证明垂直问题，常用垂直的充要条件；

　a  b  a  b  0  x x 1 2

　

　y y  0 1 2

　 ③求夹角问题；

　利用夹角公式：

　cos   cos  a , b a  b x x  y y 1

　2 1 2

　| a | 

　| b |

　x 2  y 2  x 2  y 2

　 平面向量 a , b 的夹角  [0，  ] 1 1 2 2

　 ④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模 a

　 a  a  或 AB  .

　 （2）

　向量在物理中的应用 ①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用； ②向量在速度的分解与合成中的应用. 【典型例题】

　类型一、数量积的概念

　【高清课堂：平面向量的数量积及应用 401196 例 4】

　例

　1 1 ． 已知向量 a

　 (1,2), b (  2,

　 4),|

　c

　|  5,

　若 ( a

　 b )

　 c

　5 , 则a与c 的夹角为（ ）

　2

　A．30° B．60° C．120° D．150° 【解析】∵ b  2a ，∴ a, b 是共线向量， a  b  (1,2) ∴

　( a

　

　b )

　

　c

　 |

　a

　

　b

　||

　c

　|

　cos

　

　a

　

　b ,

　c

　

　5

　

　5

　

　cos

　

　a

　

　b ,

　c

　

　5

　，

　2

　第 3

　页 共 9 页 x 2  y 2

　2 2

　x 2  y 2

　2 2

　x 2  y 2

　第 4 页 共 9 页

　 4a 2  4a  b  b 2

　 21 ∴ cos  a  b, c  1 ， 2

　∴向量 a  b 和 c 所成角为 60 0 ，又 a 与 a  b 共线且方向相反， ∴向量 a 和 c 所成角为 120 0 ，从而选项C正确. 【总结升华】

　a  b 仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到 a ， b ， a  b 是共线向量，从而将

　 a 和 c 的夹角问题进行有效的转化. 举一反三：

　【变式 1】已知向量 a 与 b 的夹角为 120°， a  1, b  3 ，则 5a  b 

　【答案】7 【解析】

　5a  b 2  (5a  b) 2

　 ∴ 5a  b  7 .

　 25a 2 10a  b  b 2  251 2 101 3 ( 1 )  32

　2

　  49 ,

　 【变式 2】已知 | a | 2 ,

　| b | 1 , a与b 夹角为 60 0 ，则向量 m  2a  b 与向量 n  a  4b 的夹角的余

　 弦值为

　.

　 【答案】

　 14

　【解析】由向量的数量积的定义，得 a  b | a |  | b | cos   2 1 cos 60 0  1 ∵ m  2a  b ， n  a  4b ,

　∴ | m | (2a  b) 2 | n | (a  4b) 2

　 a 2  8a  b 16b 2

　 2 3

　设 m 与 n 的夹角为  ，则 m  n  (2a  b)(a  4b)  2a 2  7a  b  4b 2  3 ∴ cos m  n  3   | m |  | n | 21  2 3 14 即向量 m 与 n 的夹角的余弦值为  7 . 14

　【变式 3 】两个非零向量 a 、 b 互相垂直，给出下列各式：① a  b  0 ；② a  b  a  b ；③

　a  b  a  b ；④ a 2  b 2

　 (a  b) 2 ；⑤ (a  b)  (a  b)  0 . 其中正确的式子有（ ）

　 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知 a  b 与 a  b 长度相等，但方向不同，所以②错误；

　③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在 a  b 时， a  b 与 a  b 才互相垂直，⑤错误， 故①③④正确，故选B. 7

　7

　第 5 页 共 9 页

　   例

　2.（2022 浙江高考）已知平面向量

　|

　a ·

　e |+|

　b ·

　e | 的最大值是

　 ．

　【答案】

　7

　a ，

　b ， |

　a |=1 ， |

　b |=2 ，

　a ·

　b =1 ．若

　e 为平面单位向量，则

　 【解析】

　由 |

　a |=1，| b |=2 ，

　a ·

　b =1

　 得， <

　a ，

　b >=60 °，不妨取a = （ 1 ， 0 ），

　b = （ 1 ，

　3

　），设e =

　 （ cos θ， sin θ），

　 则 |

　a ·

　e |+|

　b ·

　e |=|

　cos θ |+|

　cos θ+

　3

　sin θ | ≤ |

　cos θ |+|

　cos θ |+

　3

　|

　sin θ |

　=2| cosθ|+ 3 | sinθ|，取等号时cosθ与 sinθ同号，

　所以 2| cosθ|+ 3 | sinθ|=|2 cosθ+ 3 sinθ|= 7 | 2 cosθ+ 3 sinθ|= 7 |sin（θ+β）|， 7 7

　2 3 (其中 sinβ= ，cosβ= ，取β为锐角)，显然 7 |sin（θ+β）|≤ 7 ，故所求最大值为 7 。

　7 7 【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，注意结合向量坐标转换成代数运算求最值问题. 举一反三：

　【变式 1】若 a 、 b 、 c 均为单位向量，且 a  b  0 ， (a  b)  (b  c) 的最大值为

　【答案】

　1 2

　 【解析】因为 a 、 b 、 c 均为单位向量，且 a  b  0 ，

　设 a

　= （ 1 ， 0 ），

　b

　= （ 0 ， 1 ），

　c

　 (cos

　 ,sin

　) ,

　 (a  b)  (b  c)  (1,1) (cos,1  sin )  cos  1 sin   2 sin( 故 (a  b)  (b  c) 的最大值为 1

　 ) 1 ,

　4

　 【变式 2】设向量 a ， b ， c 满足 a   1 ， a  b   1 ， a  c, b  c  60 则 c 的最大值等于（ ）

　2

　A．2 B． 3 C． 2 D．1

　【答案】

　A

　【解析】由 a  b   1 得  a, b  120 ，设 OA  a ， OB  b ， OC  c ，则∠AOB=120°，

　2

　 2 .

　b

　CA  a  c ， CB  b  c ，∵  a  c, b  c  60 ，

　∴∠ACB=60°，∴O、A、C、B 四点共圆。

　c 的最大值应为圆的直径 2R，在△AOB 中，OA=OB=1，∠AOB=120°，所以 AB  3 ，

　第 6 页 共 9 页

　 例 3.（2022 长沙校级二模）在△ ABC 和△ AEF 中，B 是 EF 的中点，AB=EF=1，BC=6， ，若 由正弦定理得2R AB sin AOB  2 . 故选A.

　【变式 3】已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE  CB 的值为

　;

　DE  DC 的最大值为

　. 【答案】1；1

　【解析】根据平面向量的点乘公式 DE  CB  DE  DA | DE |  | DA | cos  ,可知 | DE | cos  | DA | , 因此 DE  CB | DA | 2  1 ; DE  DC | DE |  | DC | cos  | DE | cos  , 而 | DE | cos  就是向量

　DE 在 DC 边上的射影,要想让 DE  DC 最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点重合,射影为 | DC | ,所以长度为 1 .

　 【总结升华】考查平面向量数量积角度和模的问题，特别注意夹角的方向.

　画出示意图，有助于分析解决问题. 举一反三：

　【答案】C ，则 与

　的夹角的余弦值等于 ．

　【解析】由题意可得 =

　=

　+

　﹣2 • =33+1﹣2 • =36，∴ • =﹣1． 由

　可得 +

　=

　+

　+

　+

　=1﹣ +（﹣1）+ =

　•

　（

　）= • =2， 故有 =4． 再由 =1×6×cos＜ ＞，可得 6×cos＜ ＞=4， ∴ cos＜ ＞= ， 【变式 1】.（2022 上海模拟）已知向量 ， 的夹角为 ，| |=1，且对任意实数x，不等式|x +2 |≥| + | 恒成立，则| |的取值范围是（ ）

　A．[ ，+∞）

　B ．（

　， +∞ ）

　C ． [1 ， +∞ ）

　D ．（ 1 ， +∞ ）

　【解析】由题意可得 x 2 • +4x• +4 ≥ +2 +

　恒成立， 【答案】

　第 7 页 共 9 页

　 1 4 1 3 2 3 2 4 

　【高清课堂：平面向量的数量积及应用 401196 例 1】

　          【变式 2】已知 a 、 b 都是非零向量，且 a +3 b 与 7 a 5 b 垂直， a  4 b 与 7 a 2 b 垂直，求 a 与 b 的 夹角  。

　【答案】

　3

　 【变式 3】已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为  ，有下列四个命题 p : a  b  1   [0, 2  ) p

　: a  b  1   ( 2   ,  ]

　1

　 p : a  b  1   3

　3  [0, ) 3

　2

　p : a  b  1   4

　3 (  ,  ] 3 其中的真命题是（ ）

　A．p ，p B．p ，p C．p ，p D．p ，p 【答案】

　A

　【解析】∵ a  b  1 ，且  [0，  ] ，若 a  b  1 ，则 a  b 2  1 ,

　 ∴ a 2  2a  b  b 2

　 1 ，即 a  b   1 ，

　2

　∴ cos  a  b | a | 

　| b |

　  a  b   1 ， 2

　 ∴    0, 2   ；

　 3 若 a  b  1 ，同理求得 a  b  1 ，

　2

　∴ cos   a  b 1 ，∴  (  2 3 , 

　] ，故

　1

　， p 4

　 正确，应选 A.

　类型二、数量积的综合应用

　例

　4.设向量 a  (4cos  ,sin  ) ， b  (sin  , 4cos  ) ， c  (cos  , 4sin  ) .

　（1）

　若 a 与 b  2c 垂直，求 tan(    ) 的值；

　 （2）

　求 b  c 的最大值； （3）

　若 tan  tan   16 ，求证：

　a ∥ b .

　【解析】

　（1）∵ a 与 b  2c 垂直，∴ a  (b  2c)  a  b  2a  c  0 ，即 4sin(    )  8cos(    )  0 ，

　∴ tan(    )  2 .

　 化简可得 x 2 +2| |x+ （ |3

　﹣| |﹣1）≥0 恒成立，∴ △ =4 ﹣ 4 （ |3

　﹣| | ﹣ 1 ）

　≤ 0 ．

　化简可得（ 2|

　|+1 ）（ |

　| ﹣ 1 ）

　≥ 0 ，求得 |

　| ≥ 1 ，故选：

　C ．

　p

　第 8 页 共 9 页

　 2

　（2）

　b  c  (sin   cos  , 4cos   4sin  ) ，

　 b  c 2

　 sin 2   2sin  cos   cos 2  16cos 2   32cos b sin  16sin 2  17  30sin  cos   17 15sin 2  ，

　∴ b  c 2 最大值为 32，∴ b  c 的最大值为 4 .

　（3）

　证明：由 tan  tan   16 ，得 sin  sin   16cos  cos  ，

　即 4cos   4cos   sin  sin   0 ，故 a ∥ b . 【总结升华】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可以说， 向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一个重要思想方法，因 此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、运算加以考察外，更重要的是他

　与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力. 举一反三：

　【变式 1】已知向量 a  (sin  ,1),b  (1,cos  ),   2

　    ．

　2

　（Ⅰ）若 a  b ，求  ； （Ⅱ）求 | a  b | 的最大值． 【解析】

　（Ⅰ）若 a  b ，则 sin   cos   0 ， 由此得 tan   1(      ) ，所以     ；

　2 2 4 （Ⅱ）由 a  (sin  ,1),b  (1,cos  ), 得

　| a  b | (sin   1) 2  (1 cos  ) 2 当 sin(    )  1 时， | a  b | 取得最大值，即当     时， | a  b | 最大值为  1 .

　4 4 【变式

　2 】已知 A 、 B 、 C

　为△ ABC

　的三个内角， a

　= （ sinB+cosB ， cosC ）， b

　= （ sinC ， sinB ― cosB ）

　.

　 （1）

　若 a  b  0 ，求角A； （2）

　若 a  b   1 ，求 tan2A. 5

　【解析】（1）由已知 a  b  0 ，得 (sin B  cos B)sin C  cos C(sin B  cos B)  0 ， 化简 sin(B  C)  cos(B  C)  0 ，

　即 sinA+cosA=0，tanA=－1. 而

　A ∈（ 0 ，π），∴

　A

　

　3

　 4

　3  2 2 sin(    ) 4

　2

　第 9 页 共 9 页

　 m OA ＋n OB (m，n∈R)，则 n 等于（ ）

　A.

　1

　3

　B．3 C.

　3

　3

　D. 3

　4

　    （2）∵ a  b   1 ， 5

　即 sin(B  C)  cos(B  C)   1 ，

　5

　∴ sin A  cos A   1 . ①

　5

　对①平方得 2sin A cos A   24 ，

　25 ∵  24  0 25 ∴ A (  2

　, ) ， sin A  cos A  1 2sin A cos A 7 5 . ② 联立①②得， sin A 3 ， cos A   4 ，

　5 5 2    3 ∴ tan A   3 ，∴ tan 2 A      24 .

　4 1  【变式 3】已知| OA |＝1，| OB |＝ m 9 7

　16 3 ， OA · OB ＝0，点 ...

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